Materi Math #30
Kelas XI 2022-2023
0. Vektor
1. Pers. dan Fungsi Kuadrat
2. Komposisi dan Invers Fungsi
3. Pers. Lingkaran
4. Logika Matematika
0. Statistika
0. Limit Fungsi Aljabar
---------------------------------
5. Dimensi Tiga
6. Transformasi Geometri
7. Peluang
0. Turunan Fungsi Aljabar
0. Integral
2. Komposisi dan Invers Fungsi
3. Pers. Lingkaran
4. Logika Matematika
0. Statistika
0. Limit Fungsi Aljabar
---------------------------------
5. Dimensi Tiga
6. Transformasi Geometri
7. Peluang
0. Turunan Fungsi Aljabar
0. Integral
Vektor
(besaran memiliki nilai dan arah)
Lambangnya
(garis berarah atau 1huruf kecil bergaris arah di atas atau 2huruf besar bergaris arah di atas)
Vektor di R2
1. Besar Vektor (Panjang Vektor) :
dengan phytagoras
2. Vektor Satuan :
dibagi panjangnya
3. Vektor Nol :
besarnya nol, arah sembarang
4. Vektor Posisi :
yang berpangkal di (0,0)
5. Kesamaan Vektor :
besar dan arah sama
6. Vektor Berlawanan :
besar sama, arah berlawanan
7. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor :
seperti dalam matriks
8. Perkalian skalar Vektor :
kalikan angka ke dalam vektor
9. Dot Vektor (Perkalian 2 vektor membentuk
sudut = |a|.|b| cos θ )
10. Proyeksi Vektor Ortogonal
(a.b / |b|kuadrat) b
11. Panjang Proyeksi Vektor Ortogonal
(a.b / |b|)
Vektor di R3 (mirip seperti di R2)
============================================
Bab 1. Pers. dan Fungsi Kuadrat
1. Persamaan Kuadrat
x + bx + c = 0
2. Mencari akar-akar (x1,x2)
a. faktorisasi : 1/a (ax ...)(ax ...) = 0
b. melengkapkan kuadrat : ribet
c. rumus abc : (-b +- akar b – 4ac) / 2a
3. Jenis Akar Persamaan Kuadrat
D = b – 4ac
a. D = - ( akar irasional )
b. D = + ( akar real berbeda )
c. D = 0 ( akar real sama )
4. Jumlah dan Hasil Kali Akar
x1 + x2 = -b/a
x1 . x2 = c/a
x1 - x2 = akarD/a
5. Bikin Persamaan Kuadrat Baru
xkuadrat - (x1 + x2)x + x1.x2 = 0
6. Fungsi Kuadrat
f(x) = a.x + bx + c
7. Grafik fungsi kuadrat
sifat a terbuka ke atas, -a kebawah
sifat b di kiri, -b di kanan
sifat c memotong sby atas, -c bawah
tipun ( -b / 2a , -D / 4a )
8. Manggambar Grafik
a. Sb.y , x nolin , y = ...
b. Sb.x , y nolin, x1= ... , x2=...
c. Tipun ( -b/2a , -D/4a )
d. Gambardah
9. Nentuin Fungsi Kuadrat
a. melalui 2 titik sbx (x1,0) (x2,0)
y = a(x - x1)(x - x2)
b. melalui tipun (xp , yp)
y = a(x - xp)kuadrat + yp
c. melalui 3 titik sembarang
y = axkuadrat + bx + c
========================================
Bab 2. Komposisi dan Invers Fungsi
1. Fungsi :
relasi yang semua anggota asal punya
pasangan 1
2. Jenisnya : ...jektif
a. sur (semua anggota lawan punya
pasangan di asal) boleh cabang
b. in (anggota lawan punya pasangan 1 di
asal) boleh ga punya pasangan
c. bi (sur + in)
3. Fungsi Komposisi
fogoh(x) = f(g(h(x)))
a. cari nilai fungsi jika nilai x ada
b. cari nilai f(x) jika g(x) dan fog(x) ada
c. cari nilai g(x) jika f(x) dan fog(x) ada
4. Fungsi Invers f-1(x)
andaikan f(x) dengan huruf lain, misal y,
pindahkan ruasnya hingga terjadi x = ...
ganti kembali y dengan huruf x
5. Fungsi Invers Komposisi
(fog)-1(x) = g-1(f-1(x))
========================================
Bab 3. Pers. Lingkaran
1. lingkaran : tempat kedudukan titik titik
yang berjarak sama terhadap suatu titik
2. Persamaan Lingkaran
pusat (0,0) : x + y = r
pusat (a,b) : (x - a) + (y - b) = r
3. Bentuk Umum Pers. Lingkaran
x + y + Ax + By + C = 0
pusat : (-A/2 , -B/2)
jari jari : akaaaar (a + b - C)
4. Kedudukan Titik/Garis thd lingkaran
titik : jika x y titik disubstitusi ke
persamaan lingkaran maka ada hasil
1. di dalam lingkaran jika < r
2. pada lingkaran jika = r
3. di luar lingkaran jika > r
garis : jika nilai y garis disubstitusi
ke persamaan lingkaran maka dapat
persamaan kuadrat, nilai D
1. berpotongan jika D > 0
2. bersinggungan jika D = 0
3. tidak berpotongan jika D < 0
5. Pers. Garis Singgung Lingkaran
1. pusat (0,0) dan titik (x1, y1)
x1x + y1y = r
2. pusat (a,b) dan titik (x1,y1)
(x1-a)(x-a)+(y1-b)(y-b) = r
3. bentuk umum dan melalui (x1,y1)
x1x + y1y + A/2 (x+x1) + B/2 (y+y1) + C = 0
4. pusat (a,b) dan titik (x1,y1) n gradien m
y - b = m(x-a) ± r akaar (m + 1)
========================================
Bab 4. Logika Matematika
1. Pernyataan : Kalimat benar saja atau
salah saja . dinotasikan huruf kecil
Bukan Pernyataan : Pertanyaan,
Perintah, Harapan/Doa
Kalimat Terbuka : belum pasti benar
atau salahnya
2. Ingkaran / Negasi
Penyangkalan dari pernyataan awal
sehingga nilainya berubah.
dilambangkan dengan ~
3. Pernyataan Majemuk
yang memiliki kata hubung : dan, atau,
jika... maka... , jika dan hanya jika ...
maka...
a. konjungsi (dan) ^
B ^ B = B lainnya S
b. disjungsi (atau) v
S v S = S lainnya B
c. implikasi (jika...maka...) -->
B --> S = S lainnya B
d. biimplikasi (jika dan hanya jika... maka...) <-->
B <--> B = B
S <--> S = B lainnya S
4. Nilai Kebenaran
a. Ekuivalensi : 2 nilai kebenaran yang sama
b. Tautoligi : nilai kebenaran B semua
c. Kontradiksi : nilai kebenaran S semua
d. Kontingensi : nilai kebenaran ada B n S
5. Implikasi n Fren
jika p --> q
a. Konvers : q --> p tuker tempat
b. Invers : ~p --> ~q kasi negasi
c. Kontraposisi : ~q -->~p tukar tempat
kasi negasi
6. Pernyataan Berkuantor
a. kuantor universal (semua)
b. kuantor eksistensial (ada/beberapa)
jika dinegasikan akan berkebalikan
7. Penarikan Kesimpulan
a. modus ponens
p --> q
p
----------
q
b. modus tolens
p --> q
~q
----------
~p
c. silogisme
p --> q
q --> r
----------
p --> r
8. Bukti Langsung n Tak Langsung
a. langsung : ponens, tolens, silogisme
b. tak langsung : kontradiksi, kontraposisi
========================================
Bab 5. Statistika
1. Definisi
ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data.
2. Penyajian Data
tabel
diagram garis
diagram batang
diagram lingkaran
piktogram
histogram
poligon frekuensi
tabel distribusi frekuensi
3. Ukuran Pemusatan Data
- Rata-rata data tunggal = jumlah data / banyak data
- Rata-rata data kelompok = Efi.xi / Efi
- Median (Nilai Tengah)
Me = Tb + [(1/2.n - fk) / fme] . p
- Modus (Nilai Sering Muncul)
Mo = Tb + [d1 / (d1+d2) ] . p
4. Ukuran Letak Data
- Quartil (membagi 4 data)
Qi = Tbi + [(i/4.n - fki) / fQi] . p
- Desil (membagi 10 data)
Di = Tbi + [(i/10.n - fki) / fDi] . p
- Persentil (membagi 100 data)
Pi = Tbi + [(i/100.n - fki) / fPi] . p
5. Ukuran Penyebaran Data
- Jangkauan antarkuartil
H = Q3 - Q1
- Simpangan Quartil
Qd = (Q3 - Q1)/2
- Simpangan Rata-rata (SR)
SR data tunggal = E|xi - rata2|/ n
SR data kelompok = E(fi.|xi - rata2|) / n
- Varians (Ragam)
Skuadrat data tunggal = E(xi - rata2)kuadrat / n
Skuadrat data kelompok = E[fi(xi - rata2)kuadrat] / n
- Simpangan Baku (Standar Deviasi)
S data tunggal = akar dari variansnya
S data kelompok = akar dari variansnya
========================================
Bab 6. Dimensi Tiga
1. Pengertian
Titik : dapat diartikan sebagai bagian terkecil dari objek geometri yang hanya memiliki posisi
Garis : gabungan dari titik-titik yang memiliki panjang
Bidang : gabungan dari garis yang memiliki panjang dan lebar
Ruang : gabungan dari bidang yang memiliki panjang, lebar, dan tinggi
2. Jarak : garis terpendek antara dua titik
(besaran memiliki nilai dan arah)
Lambangnya
(garis berarah atau 1huruf kecil bergaris arah di atas atau 2huruf besar bergaris arah di atas)
Vektor di R2
1. Besar Vektor (Panjang Vektor) :
dengan phytagoras
2. Vektor Satuan :
dibagi panjangnya
3. Vektor Nol :
besarnya nol, arah sembarang
4. Vektor Posisi :
yang berpangkal di (0,0)
5. Kesamaan Vektor :
besar dan arah sama
6. Vektor Berlawanan :
besar sama, arah berlawanan
7. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor :
seperti dalam matriks
8. Perkalian skalar Vektor :
kalikan angka ke dalam vektor
9. Dot Vektor (Perkalian 2 vektor membentuk
sudut = |a|.|b| cos θ )
10. Proyeksi Vektor Ortogonal
(a.b / |b|kuadrat) b
11. Panjang Proyeksi Vektor Ortogonal
(a.b / |b|)
Vektor di R3 (mirip seperti di R2)
============================================
1. Persamaan Kuadrat
x + bx + c = 0
2. Mencari akar-akar (x1,x2)
a. faktorisasi : 1/a (ax ...)(ax ...) = 0
b. melengkapkan kuadrat : ribet
c. rumus abc : (-b +- akar b – 4ac) / 2a
3. Jenis Akar Persamaan Kuadrat
D = b – 4ac
a. D = - ( akar irasional )
b. D = + ( akar real berbeda )
c. D = 0 ( akar real sama )
4. Jumlah dan Hasil Kali Akar
x1 + x2 = -b/a
x1 . x2 = c/a
x1 - x2 = akarD/a
5. Bikin Persamaan Kuadrat Baru
xkuadrat - (x1 + x2)x + x1.x2 = 0
6. Fungsi Kuadrat
f(x) = a.x + bx + c
7. Grafik fungsi kuadrat
sifat a terbuka ke atas, -a kebawah
sifat b di kiri, -b di kanan
sifat c memotong sby atas, -c bawah
tipun ( -b / 2a , -D / 4a )
8. Manggambar Grafik
a. Sb.y , x nolin , y = ...
b. Sb.x , y nolin, x1= ... , x2=...
c. Tipun ( -b/2a , -D/4a )
d. Gambardah
9. Nentuin Fungsi Kuadrat
a. melalui 2 titik sbx (x1,0) (x2,0)
y = a(x - x1)(x - x2)
b. melalui tipun (xp , yp)
y = a(x - xp)kuadrat + yp
c. melalui 3 titik sembarang
y = axkuadrat + bx + c
========================================
1. Fungsi :
relasi yang semua anggota asal punya
pasangan 1
2. Jenisnya : ...jektif
a. sur (semua anggota lawan punya
pasangan di asal) boleh cabang
b. in (anggota lawan punya pasangan 1 di
asal) boleh ga punya pasangan
c. bi (sur + in)
3. Fungsi Komposisi
fogoh(x) = f(g(h(x)))
a. cari nilai fungsi jika nilai x ada
b. cari nilai f(x) jika g(x) dan fog(x) ada
c. cari nilai g(x) jika f(x) dan fog(x) ada
4. Fungsi Invers f-1(x)
andaikan f(x) dengan huruf lain, misal y,
pindahkan ruasnya hingga terjadi x = ...
ganti kembali y dengan huruf x
5. Fungsi Invers Komposisi
(fog)-1(x) = g-1(f-1(x))
========================================
1. lingkaran : tempat kedudukan titik titik
yang berjarak sama terhadap suatu titik
2. Persamaan Lingkaran
pusat (0,0) : x + y = r
pusat (a,b) : (x - a) + (y - b) = r
3. Bentuk Umum Pers. Lingkaran
x + y + Ax + By + C = 0
pusat : (-A/2 , -B/2)
jari jari : akaaaar (a + b - C)
4. Kedudukan Titik/Garis thd lingkaran
titik : jika x y titik disubstitusi ke
persamaan lingkaran maka ada hasil
1. di dalam lingkaran jika < r
2. pada lingkaran jika = r
3. di luar lingkaran jika > r
garis : jika nilai y garis disubstitusi
ke persamaan lingkaran maka dapat
persamaan kuadrat, nilai D
1. berpotongan jika D > 0
2. bersinggungan jika D = 0
3. tidak berpotongan jika D < 0
5. Pers. Garis Singgung Lingkaran
1. pusat (0,0) dan titik (x1, y1)
x1x + y1y = r
2. pusat (a,b) dan titik (x1,y1)
(x1-a)(x-a)+(y1-b)(y-b) = r
3. bentuk umum dan melalui (x1,y1)
x1x + y1y + A/2 (x+x1) + B/2 (y+y1) + C = 0
4. pusat (a,b) dan titik (x1,y1) n gradien m
y - b = m(x-a) ± r akaar (m + 1)
========================================
1. Pernyataan : Kalimat benar saja atau
salah saja . dinotasikan huruf kecil
Bukan Pernyataan : Pertanyaan,
Perintah, Harapan/Doa
Kalimat Terbuka : belum pasti benar
atau salahnya
2. Ingkaran / Negasi
Penyangkalan dari pernyataan awal
sehingga nilainya berubah.
dilambangkan dengan ~
3. Pernyataan Majemuk
yang memiliki kata hubung : dan, atau,
jika... maka... , jika dan hanya jika ...
maka...
a. konjungsi (dan) ^
B ^ B = B lainnya S
b. disjungsi (atau) v
S v S = S lainnya B
c. implikasi (jika...maka...) -->
B --> S = S lainnya B
d. biimplikasi (jika dan hanya jika... maka...) <-->
B <--> B = B
S <--> S = B lainnya S
4. Nilai Kebenaran
a. Ekuivalensi : 2 nilai kebenaran yang sama
b. Tautoligi : nilai kebenaran B semua
c. Kontradiksi : nilai kebenaran S semua
d. Kontingensi : nilai kebenaran ada B n S
5. Implikasi n Fren
jika p --> q
a. Konvers : q --> p tuker tempat
b. Invers : ~p --> ~q kasi negasi
c. Kontraposisi : ~q -->~p tukar tempat
kasi negasi
6. Pernyataan Berkuantor
a. kuantor universal (semua)
b. kuantor eksistensial (ada/beberapa)
jika dinegasikan akan berkebalikan
7. Penarikan Kesimpulan
a. modus ponens
p --> q
p
----------
q
b. modus tolens
p --> q
~q
----------
~p
c. silogisme
p --> q
q --> r
----------
p --> r
8. Bukti Langsung n Tak Langsung
a. langsung : ponens, tolens, silogisme
b. tak langsung : kontradiksi, kontraposisi
========================================
1. Definisi
ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data.
2. Penyajian Data
tabel
diagram garis
diagram batang
diagram lingkaran
piktogram
histogram
poligon frekuensi
tabel distribusi frekuensi
3. Ukuran Pemusatan Data
- Rata-rata data tunggal = jumlah data / banyak data
- Rata-rata data kelompok = Efi.xi / Efi
- Median (Nilai Tengah)
Me = Tb + [(1/2.n - fk) / fme] . p
- Modus (Nilai Sering Muncul)
Mo = Tb + [d1 / (d1+d2) ] . p
4. Ukuran Letak Data
- Quartil (membagi 4 data)
Qi = Tbi + [(i/4.n - fki) / fQi] . p
- Desil (membagi 10 data)
Di = Tbi + [(i/10.n - fki) / fDi] . p
- Persentil (membagi 100 data)
Pi = Tbi + [(i/100.n - fki) / fPi] . p
5. Ukuran Penyebaran Data
- Jangkauan antarkuartil
H = Q3 - Q1
- Simpangan Quartil
Qd = (Q3 - Q1)/2
- Simpangan Rata-rata (SR)
SR data tunggal = E|xi - rata2|/ n
SR data kelompok = E(fi.|xi - rata2|) / n
- Varians (Ragam)
Skuadrat data tunggal = E(xi - rata2)kuadrat / n
Skuadrat data kelompok = E[fi(xi - rata2)kuadrat] / n
- Simpangan Baku (Standar Deviasi)
S data tunggal = akar dari variansnya
S data kelompok = akar dari variansnya
========================================
1. Pengertian
Titik : dapat diartikan sebagai bagian terkecil dari objek geometri yang hanya memiliki posisi
Garis : gabungan dari titik-titik yang memiliki panjang
Bidang : gabungan dari garis yang memiliki panjang dan lebar
Ruang : gabungan dari bidang yang memiliki panjang, lebar, dan tinggi
2. Jarak : garis terpendek antara dua titik
>> Jarak antara dua titik : ruas garis terpendek yang menghubungkan kedua titik
>> Jarak titik ke garis : ruas garis yang menghubungkan titik ke garis secara tegak lurus dengan garis (proyeksi titik ke garis)
>> Jarak titik ke bidang : ruas garis yang menghubungkan titik ke bidang secara tegak lurus dengan bidang (proyeksi titik ke bidang)
>> Jarak dua garis : ruas garis terpendek yang menghubungkan dua garis dan tegak lurus pada dua garis tersebut
>> Jarak garis dengan bidang : ruas garis terpendek yang menghubungkan garis dengan bidang dan tegak lurus pada garis dan bidang tersebut
jurus (teorema phitagoras, luas segitiga)
kubus
diagonal sisi : rusuk akar 2
diagonal ruang : rusuk akar 3
pojok ke tengah : rusuk/2 akar 6
pojok dekat ke segitiga : rusuk/3 akar 3
3. Sudut : daerah yang dibatasi 2 garis yang berpotongan
>> sudut antara dua garis : jika ada dua garis yang berpotongan pada satu titik potong maka akan terbentuk sudut antara dua garis tersebut
>> sudut antara garis dan bidang : jika garis dan bidang berpotongan maka sudut yang terbentuk adalah perpotongan garis dengan proyeksi garis tersebut pada bidang
>> sudut antara dua bidang : jika dua bidang berpotongan maka terbentuk sudut yang dapat ditentukan dari dua garis berpotongan yang mewakili bidang tersebut.
jurus (trigonometri segitiga siku siku, sudut istimewa)
========================================
1. Translasi (Geser)
A (x,y) ----> A'(x+a,y+b)
A (x,y) ----> A'(x+a,y+b)
2. Refleksi (Cermin)
sumbu x
A(x,y) ----> A'(x,-y)
sumbu x
A(x,y) ----> A'(x,-y)
sumbu y
A(x,y) ----> A'(-x,y)
A(x,y) ----> A'(-x,y)
garis x = h
A(x,y) ----> A'(2h-x,y)
A(x,y) ----> A'(2h-x,y)
garis y = k
A(x,y) ----> A'(x,2k-y)
A(x,y) ----> A'(x,2k-y)
garis y = x
A(x,y) ----> A'(y,x)
A(x,y) ----> A'(y,x)
garis y = -x
A(x,y) ----> A'(-y,-x)
A(x,y) ----> A'(-y,-x)
titik O(0,0)
A(x,y) ----> A'(-x,-y)
A(x,y) ----> A'(-x,-y)
titik P(h,k)
A(x,y) ----> A'(2h-x,2k-y)
A(x,y) ----> A'(2h-x,2k-y)
3. Rotasi (Puter)
sumbu O(0,0) putaran berlawanan arah jarum jam
A(x,y) ---> ( x cos @ - y sin @ , x sin @ + y cos @ )
sumbu O(0,0) putaran berlawanan arah jarum jam
A(x,y) ---> ( x cos @ - y sin @ , x sin @ + y cos @ )
sumbu P(a,b) putaran berlawanan arah jarum jam
A(x,y) ---> ( (x-a) cos @ - (y-b) sin @ + a , (x-a) sin @ + (y-b) cos @ + b )
A(x,y) ---> ( (x-a) cos @ - (y-b) sin @ + a , (x-a) sin @ + (y-b) cos @ + b )
4. Dilatasi (Skala) dengan pusat P(a,b) dan skala k
A(x,y) ----> A'( k(x-a) + a , k(y-b) + b )
A(x,y) ----> A'( k(x-a) + a , k(y-b) + b )
========================================
*KAIDAH PENCACAHAN
1. Teknik Membilang
(Aturan Perkalian)
banyaknya pilihan x banyaknya pilihan
1. Teknik Membilang
(Aturan Perkalian)
banyaknya pilihan x banyaknya pilihan
2. Notasi Faktorial (!)
(Perkalian menurun hingga 1)
(Perkalian menurun hingga 1)
3. Permutasi (Posisi)
n P k = n! / (n - k)!
Permutasi dgn unsur sama
n P k1,k2,k3... = n! / k1!.k2!.k3!...
n P k1,k2,k3... = n! / k1!.k2!.k3!...
Permutasi siklik
n P (siklis) = (n-1)!
n P (siklis) = (n-1)!
4. Kombinasi (Kaga ada posisi)
n C k = n! / (n - k)! k!
n C k = n! / (n - k)! k!
Kombinasi dgn unsur sama
n C k . n C k . n C k . ...
n C k . n C k . n C k . ...
5. PELUANG
*Percobaan : Kegiatan yang menghasilkan kemungkinan
*Ruang Sampel : Semua kemungkinan dari kejadian
*Titik Sampel : Anggota dari ruang sampel
*Kejadian : hal yang sudah terjadi
*Percobaan : Kegiatan yang menghasilkan kemungkinan
*Ruang Sampel : Semua kemungkinan dari kejadian
*Titik Sampel : Anggota dari ruang sampel
*Kejadian : hal yang sudah terjadi
Frekuensi Relatif :
banyaknya kejadian A / banyaknya semua kejadian
Fr (A) = n(A) / n(S)
banyaknya kejadian A / banyaknya semua kejadian
Fr (A) = n(A) / n(S)
Peluang Suatu Kejadian :
banyaknya kemungkinan kejadian A / banyaknya semua kemungkinan kejadian
P(A) = n(A)/n(S)
banyaknya kemungkinan kejadian A / banyaknya semua kemungkinan kejadian
P(A) = n(A)/n(S)
Frekuensi Harapan :
Banyaknya peluang kejadian A x banyaknya percobaan
Fh(A) = P(A) x n
Banyaknya peluang kejadian A x banyaknya percobaan
Fh(A) = P(A) x n
========================================
1. Bentuk lim x->a f(x) substitusikan saja
jika f(a) = c = c
jika f(a) = 0/c = 0
jika f(a) = c/0 = ~
jika f(a) = 0/0 maka
faktorkan sederhanakan substitusi (pecahan)
kalikan sekawan (akar)
turunkan substitusikan (pecahan)
2. Bentuk lim x->~ f(x)/g(x) bagi pangkat tertinggi
f(x) n g(x) adalah polinomial
jika pangkat tertinggi atas = pangkat tertinggi bawah
maka hasilnya = koef pangkat tertinggi atas / koef pangkat tertinggi bawah
jika pangkat tertingi atas < pangkat tertinggi bawah
maka hasilnya = 0
jika pangkat tertinggi atas > pangkat tertinggi bawah
maka hasilnya = ~
untuk bentuknya akar kalikan sekawan dulu baru dengan cara di atas
3. Bentuk lim x->~ [akarf(x) - akarg(x)] kalikan sekawan n bagi pangkat tertinggi
f(x) n g(x) fungsi kuadrat, hasilnya
jika a = p maka = (b - q) / 2.akar(a)
jika a > p maka = ~
jika a < p maka = - ~
4. Bentuk lim x->~ [akarf(x) - akarg(x)] kalikan sekawan n bagi pengkat tertinggi
f(x) n g(x) fungsi linear, hasilnya
jika p = q maka = 0
jika p tidak = q maka = ~
Latihan Soal klik
========================================
Bab 10. Turunan Fungsi Aljabar
1. Definisi
Turunan fungsi f(x) terhadap x didefinisikan oleh
dengan syarat limitnya ada.
3. Rumus Turunan
5. Bentuk akar dan pecahan
Untuk menentukan turunan dari fungsi yang memuat bentuk akar atau pecahan, langkah awal yang harus dilakukan adalah merubah terlebih dahulu fungsi tersebut ke dalam bentuk pangkat (eksponen).
Berikut beberapa sifat akar dan pangkat yang sering digunakan :
Contoh 1
Tentukan turunan dari
Jawab :
Contoh 2
Tentukan turunan dari
Jawab :
6. Bentuk Perkalian dan Pembagian 2 fungsi
Misalkan , maka turunan dari y dapat dinyatakan sebagai :
Misalkan , maka turunan dari y dapat dinyatakan sebagai :
Contoh 3
Turunan dari f(x) = (2x + 3)(x2 + 2) adalah
Jawab :
Misalkan :
u = 2x + 3 ⇒ u' = 2
v = x2 + 2 ⇒ v' = 2x
f '(x) = u' v + u v'
f '(x) = 2(x2 + 2) + (2x + 3) 2x
f '(x) = 2x2 + 4 + 4x2 + 6x
f '(x) = 6x2 + 6x + 4
Contoh 4
Contoh 5
Tentukan turunan dari f(x) = (2x + 1)4
Jawab :
Misalkan :
u(x) = 2x + 1 ⇒ u'(x) = 2
n = 4
f '(x) = n[u(x)]n-1 . u'(x)
f '(x) = 4(2x + 1)4-1 . 2
f '(x) = 8(2x + 1)3
Contoh 6
Tentukan turunan dari y = (x2 − 3x)7
Jawab :
y' = 7(x2 − 3x)7-1 . (2x − 3)
y' = (14x − 21) . (x2 − 3x)6
sumber :
https://smatika.blogspot.com/2016/04/turunan-fungsi-aljabar_11.html?m=1
Bab 11. Integral
1. Jenis integral ada 2 yaitu :
tertentu dan tak tentu
2. Rumus integral
Untuk f(x) = a dengan a konstan, maka :
Contoh
1. ∫ 2 dx = 2x + C
2. ∫ dx = x + C
Untuk f(x) = axn , n ≠ −1 maka :
Contoh
1. ∫ 2x4 dx = ...
Jawab :
⇒ x4+1 + C
⇒ x5 + C
2. ∫ x-6 dx = ...
Jawab :
⇒ x-6+1 + C
⇒ x-5 + C
1. Definisi
Turunan fungsi f(x) terhadap x didefinisikan oleh
dengan syarat limitnya ada.
2. Notasi
- y' = f '(x) ⇒ Lagrange
- ⇒ Leibniz
- Dxy = Dx[f(x)] ⇒ Euler
3. Rumus Turunan
- f(x) = k ⇒ f '(x) = 0
- f(x) = k x ⇒ f '(x) = k
- f(x) = xn ⇒ f '(x) = nxn-1
- f(x) = k u(x) ⇒ f '(x) = k u'(x)
- f(x) = u(x) ± v(x) ⇒ f '(x) = u'(x) ± v'(x)
dengan k = konstan
4. Contoh penggunaan rumus :
1. f(x) = 5 ⇒ f '(x) = 0
2. f(x) = 2x ⇒ f '(x) = 2
3. f(x) = x2 ⇒ f '(x) = 2x2-1 = 2x
4. y = 2x4 ⇒ y' = 2. 4x4-1 = 8x3
5. y = 2x4 + x2 − 2x ⇒ y' = 8x3 + 2x − 2
4. Contoh penggunaan rumus :
1. f(x) = 5 ⇒ f '(x) = 0
2. f(x) = 2x ⇒ f '(x) = 2
3. f(x) = x2 ⇒ f '(x) = 2x2-1 = 2x
4. y = 2x4 ⇒ y' = 2. 4x4-1 = 8x3
5. y = 2x4 + x2 − 2x ⇒ y' = 8x3 + 2x − 2
5. Bentuk akar dan pecahan
Untuk menentukan turunan dari fungsi yang memuat bentuk akar atau pecahan, langkah awal yang harus dilakukan adalah merubah terlebih dahulu fungsi tersebut ke dalam bentuk pangkat (eksponen).
Berikut beberapa sifat akar dan pangkat yang sering digunakan :
Contoh 1
Tentukan turunan dari
Jawab :
Contoh 2
Tentukan turunan dari
Jawab :
6. Bentuk Perkalian dan Pembagian 2 fungsi
Misalkan , maka turunan dari y dapat dinyatakan sebagai :
Misalkan , maka turunan dari y dapat dinyatakan sebagai :
Contoh 3
Turunan dari f(x) = (2x + 3)(x2 + 2) adalah
Jawab :
Misalkan :
u = 2x + 3 ⇒ u' = 2
v = x2 + 2 ⇒ v' = 2x
f '(x) = u' v + u v'
f '(x) = 2(x2 + 2) + (2x + 3) 2x
f '(x) = 2x2 + 4 + 4x2 + 6x
f '(x) = 6x2 + 6x + 4
Contoh 4
Tentukan turunan dari !
Jawab :
Misalkan :
u = x2 ⇒ u' = 2x
v = 3x + 1 ⇒ v' = 3
y' =
y' =
y' =
y' =
7. Aturan Rantai
Jika y = f(u), dengan u adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x, maka turunan y terhadap x dapat dinyatakan dalam bentuk :
Dari konsep aturan rantai diatas, maka untuk y = un, akan diperoleh :
Secara umum dapat dinyatakan sebagai berikut :
Jika f(x) = [u(x)]n dengan u(x) adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x, maka :
Contoh 5
Tentukan turunan dari f(x) = (2x + 1)4
Jawab :
Misalkan :
u(x) = 2x + 1 ⇒ u'(x) = 2
n = 4
f '(x) = n[u(x)]n-1 . u'(x)
f '(x) = 4(2x + 1)4-1 . 2
f '(x) = 8(2x + 1)3
Contoh 6
Tentukan turunan dari y = (x2 − 3x)7
Jawab :
y' = 7(x2 − 3x)7-1 . (2x − 3)
y' = (14x − 21) . (x2 − 3x)6
sumber :
https://smatika.blogspot.com/2016/04/turunan-fungsi-aljabar_11.html?m=1
Bab 11. Integral
1. Jenis integral ada 2 yaitu :
tertentu dan tak tentu
2. Rumus integral
Untuk f(x) = a dengan a konstan, maka :
Contoh
1. ∫ 2 dx = 2x + C
2. ∫ dx = x + C
Untuk f(x) = axn , n ≠ −1 maka :
Contoh
1. ∫ 2x4 dx = ...
Jawab :
⇒ x4+1 + C
⇒ x5 + C
2. ∫ x-6 dx = ...
Jawab :
⇒ x-6+1 + C
⇒ x-5 + C
Untuk f(x) = (ax + b)n , n ≠ −1 maka :
Contoh
1. ∫ (2x − 1) 4 dx = ... Jawab :
⇒ (2x − 1)4+1 + C⇒ (2x − 1)5 + C
2. ∫ (x + 1)-7 dx = ...
Jawab :
⇒ (x + 1)-7+1 + C
⇒ (x + 1)-6 + C
Untuk f(x) = , maka :
Untuk menentukan integral yang integrannya memuat bentuk akar atau pecahan, langkah awal yang harus dilakukan adalah mengubah terlebih dahulu integran tersebut ke bentuk eksponen (pangkat).
Berikut beberapa sifat akar dan pangkat yang sering digunakan :
1.
Jawab :
2.
Jawab :
3.
Jawab :
atau
3. Sifat-sifat integral
1. ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx (k = konstan)
Contoh
∫ 3x4 dx = 3 ∫ x4 dx
∫ 3x4 dx = 3 .
∫ 3x4 dx =
2. ∫{f(x) ± g(x)} dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx
∫ (4x2 + 3x − 2) dx = ...
⇒ ∫ 4x2 dx + ∫ 3x dx − ∫ 2 dx
=
Tidak ada komentar:
Posting Komentar