Math 27

Angkatan 27 Telkom K13 Rev 2017 versi Juli 2018

Kelas X 2018-2019
1. Pangkat Akar Logaritma (sudah)
2. Pers. dan Pert Nilai Mutlak (sudah)
3. SPLDV (sudah)
4. Program Linear (sudah)
----------------------------------------------
5. Barisan dan Deret (sudah)
6. Pertumbuhan dan Peluruhan (sudah)
7. Logika Matematika (belum)*
8. Trigonometri (sudah)
9. Matriks (sudah)

Kelas XI 2019-2020
1. Vektor
2. Pers. dan Fungsi Kuadrat
3. Komposisi dan Invers Fungsi
4. Pers. Lingkaran
0. Logika Matematika
0. Statistika *materi kelas xii
-----------------------------
5. Dimensi Tiga
6. Transformasi Geometri *materi ada di buku paket kelas xi lama
7. Peluang *materi ada di buku paket kelas xi lama
0. Limit Fungsi Aljabar *materi kelas xii

Kelas XII 2020-2021
1. Statistika
2. Limit Fungsi Aljabar
--------------------------------------
3. Turunan Fungsi Aljabar
4. Integral

========================================

Bab 1. Pangkat Akar Logaritma
Bab 2. Pers. dan Pert Nilai Mutlak
Bab 3. SPLDV
Bab 4. Program Linear
----------------------------------------------
Bab 5. Barisan dan Deret
Bab 6. Pertumbuhan dan Peluruhan
Bab 7. Logika Matematika
Bab 8. Trigonometri
Bab 9. Matriks

========================================
KELAS XI

Google Classroom
Math Teacher :
Rahmat Fauzi, S.Pd

XIT1 kode : 8lhd42s
XIT2 kode : c9d2f10
XIT3 kode : ggif1w
XIT4 kode : 4rias4e
XIT5 kode : xdn3ty
XIT6 kode : 9fs4qvn
XIT7 kode : ewarct
XIT8 kode : wfik070
XIT9 kode : 9ngyqu

========================================

Bab 1. Vektor
Lambangnya
(garis berarah atau 1huruf kecil bergaris arah di atas atau 2huruf besar bergaris arah di atas)

Vektor di R2

Pengertian vektor :
besaran yang memiliki nilai dan arah

Notasi :
huruf kecil bergaris atas

Besar/Panjang Vektor :
dengan phytagoras

Vektor Satuan :
dibagi panjangnya

Vektor Nol :
besarnya nol, arah sembarang

Vektor Posisi :
yang berpangkal di (0,0)

Kesamaan Vektor :
besar dan arah sama

Vektor Berlawanan :
besar sama, arah berlawanan

Penjumlahan dan Pengurangan Vektor :
seperti dalam matriks

Perkalian skalar Vektor  :
kalikan angka ke dalam vektor

Dot Vektor (Perkalian 2 vektor membentuk
sudut = |a|.|b| cos θ )

Proyeksi Vektor Ortogonal
(a.b / |b|kuadrat) b

Panjang Proyeksi Vektor Ortogonal
(a.b / |b|)

Vektor di R3 (sama seperti di R2)

latihan soal klik
https://forms.gle/qh2kUziKaYUscVMR9

========================================

Bab 2. Pers. dan Fungsi Kuadrat
1. Persamaan Kuadrat
     x2 + bx + c = 0

2. Mencari akar-akar (x1,x2)
    a. faktorisasi :  1/a (ax ...)(ax ...) = 0
    b. melengkapkan kuadrat : ribet
    c. rumus abc : (-b +- akar b2 – 4ac) / 2a

3. Jenis Akar Persamaan Kuadrat
           D = b2 – 4ac
    a. D = - ( akar irasional )
    b. D = + ( akar real berbeda )
    c. D = 0 ( akar real sama )

4. Jumlah dan Hasil Kali Akar
    x1 + x2 = -b/a
    x1 . x2 = c/a

5. Bikin Persamaan Kuadrat Baru
    xkuadrat - (x1 + x2)x + x1.x2 = 0

Buku Paket yang harus dikerjakan
h.86 1. a sd p (16 soal)
h.94 1. e,f,g,h,i,j  2. a,f (8soal)
h.97 1. e,(k,l,m,n)* (5soal)

6. Fungsi Kuadrat
    f(x) = a.x2 + bx + c

7. Grafik fungsi kuadrat
     sifat a terbuka ke atas, -a kebawah
     sifat b di kiri, -b di kanan
     sifat c memotong sby atas, -c bawah
    tipun ( -b / 2a , -D / 4a )

8. Manggambar Grafik
    a. Sb.y , x nolin , y = ...
    b. Sb.x , y nolin, x1= ... , x2=...
    c. Tipun ( -b/2a , -D/4a )
    d. Gambardah

9. Nentuin Fungsi Kuadrat
   a. melalui 2 titik sbx (x1,0) (x2,0)
   y = a(x - x1)(x - x2)

   b. melalui tipun (xp , yp)
   y = a(x - xp)kuadrat + yp

   c. melalui 3 titik sembarang
   y = axkuadrat + bx + c

latihan soal klik
https://forms.gle/v22RCLBctjY7G2aX9

========================================

Bab 3. Komposisi dan Invers Fungsi
1. Fungsi :
    relasi yang semua anggota asal punya
    pasangan 1

2. Jenisnya : ...jektif
   a. sur (semua anggota lawan punya
       pasangan di asal) boleh cabang
   b. in (anggota lawan punya pasangan 1 di
       asal) boleh ga punya pasangan
   c. bi (sur + in)

3. Fungsi Komposisi
    fogoh(x) = f(g(h(x)))
    a. cari nilai fungsi jika nilai x ada
    b. cari nilai f(x) jika g(x) dan fog(x) ada
    c. cari nilai g(x) jika f(x) dan fog(x) ada

4. Fungsi Invers   f-1(x)
    andaikan f(x) dengan huruf lain, misal y,
    pindahkan ruasnya hingga terjadi x = ...
    ganti kembali y dengan huruf x

5. Fungsi Invers Komposisi
    (fog)-1(x) = g-1(f-1(x))

latihan soal klik
https://forms.gle/FcbnegSv6SW1umMR9

========================================

Penilaian Tengah Semester
Vektor 
Pers. n Fungsi Kuadrat 
Komposisi n Invers Fungsi

Soal Mid Test Math XI

========================================

Bab 4. Pers. Lingkaran
1. lingkaran : tempat kedudukan titik titik
    yang berjarak sama terhadap suatu titik

2. Persamaan Lingkaran
    pusat (0,0)  :  x2  + y2  = r2
    pusat (a,b) :  (x - a)2 + (y - b)2  = r2

3. Bentuk Umum Pers. Lingkaran
     x2 + y2  + Ax + By + C = 0
     pusat : (-A/2 , -B/2)
     jari jari : akaaaar (a2 + b2 - C)
 
4. Kedudukan Titik/Garis thd lingkaran
    titik : jika x y titik disubstitusi ke
    persamaan lingkaran maka ada hasil
    1. di dalam lingkaran jika < r2
    2. pada lingkaran jika = r2
    3. di luar lingkaran jika > r2

    garis : jika nilai y garis disubstitusi
    ke persamaan lingkaran maka dapat
    persamaan kuadrat, nilai D
    1. berpotongan jika D > 0
    2. bersinggungan jika D = 0
    3. tidak berpotongan jika D < 0

5. Pers. Garis Singgung Lingkaran
   1. pusat (0,0) dan titik (x1, y1)
     x1x + y1y = r2
   2. pusat (a,b) dan titik (x1,y1)
       (x1-a)(x-a)+(y1-b)(y-b) = r2
   3. bentuk umum dan melalui (x1,y1)
      x1x + y1y + A/2 (x+x1) + B/2 (y+y1) + C = 0
   4. pusat (a,b) dan titik (x1,y1) n gradien m
     y - b = m(x-a) ± r akaar (m2 + 1)

latihan soal klik
https://forms.gle/LntoxtJv4d76rxk96

========================================

Bab 5. Logika Matematika
1. Pernyataan : Kalimat benar saja atau
    salah saja . dinotasikan huruf kecil
    Bukan Pernyataan : Pertanyaan,
    Perintah, Harapan/Doa
    Kalimat Terbuka : belum pasti benar
     atau salahnya

2. Ingkaran / Negasi
    Penyangkalan dari pernyataan awal
    sehingga nilainya berubah.
    dilambangkan dengan ~

3. Pernyataan Majemuk
    yang memiliki kata hubung : dan, atau,
    jika... maka... , jika dan hanya jika ...
    maka...
a. konjungsi (dan)   ^
    B ^ B = B     lainnya S
b. disjungsi (atau)   v
    S v S = S      lainnya B
c. implikasi (jika...maka...)   -->
    B --> S = S   lainnya B
d. biimplikasi (jika dan hanya jika... maka...) <-->
    B <--> B = B
    S <--> S = B    lainnya S

4. Nilai Kebenaran
a. Ekuivalensi : 2 nilai kebenaran yang sama
b. Tautoligi : nilai kebenaran B semua
c. Kontradiksi : nilai kebenaran S semua
d. Kontingensi : nilai kebenaran ada B n S

5. Implikasi n Fren
    jika p --> q
a. Konvers : q --> p     tuker tempat
b. Invers : ~p --> ~q    kasi negasi
c. Kontraposisi : ~q -->~p    tukar tempat
                                                 kasi negasi

6. Pernyataan Berkuantor
a. kuantor universal (semua)
b. kuantor eksistensial (ada/beberapa)
jika dinegasikan akan berkebalikan

7. Penarikan Kesimpulan
a. modus ponens
    p --> q
    p
    ----------
    q

b. modus tolens
   p --> q
   ~q
   ----------
   ~p

c. silogisme
   p --> q
   q --> r
   ----------
   p --> r

8. Bukti Langsung n Tak Langsung
a. langsung : ponens, tolens, silogisme
b. tak langsung : kontradiksi, kontraposisi

latihan soal klik
https://forms.gle/FMVstzYwp6dRTfGX6

latihan soal 2 klik
https://forms.gle/P1sknJ1b1NXKgMY3A

========================================

Bab 6. Statistika
1. Definisi
ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data.

2. Penyajian Data
tabel
diagram garis
diagram batang
diagram lingkaran
piktogram
histogram
poligon frekuensi
tabel distribusi frekuensi

3. Ukuran Pemusatan Data
- Rata-rata data tunggal = jumlah data / banyak data
- Rata-rata data kelompok = Efi.xi / Efi

- Median (Nilai Tengah)
Me = Tb + [(1/2.n - fk) / fme] . p

- Modus (Nilai Sering Muncul)
Mo = Tb + [d1 / (d1+d2) ] . p

4. Ukuran Letak Data
- Quartil (membagi 4 data)
Qi = Tbi + [(i/4.n - fki) / fQi] . p

- Desil (membagi 10 data)
Di = Tbi + [(i/10.n - fki) / fDi] . p

- Persentil (membagi 100 data)
Pi = Tbi + [(i/100.n - fki) / fPi] . p

5. Ukuran Penyebaran Data
- Jangkauan antarkuartil
H = Q3 - Q1

- Simpangan Quartil
Qd = (Q3 - Q1)/2

- Simpangan Rata-rata (SR)
SR data tunggal = E|xi - rata2|/ n
SR data kelompok = E(fi.|xi - rata2|) / n

- Varians (Ragam)
Skuadrat data tunggal = E(xi - rata2)kuadrat / n
Skuadrat data kelompok = E[fi(xi - rata2)kuadrat] / n

- Simpangan Baku (Standar Deviasi)
S data tunggal = akar dari variansnya
S data kelompok = akar dari variansnya

Latihan Soal klik
https://forms.gle/3yssdf3ujGPA63578 ========================================

PENILAIAN TENGAH SEMESTER

========================================

Bab 7. Dimensi Tiga
1. Definisi
Titik : bagian terkecil dari objek geometri yang hanya memiliki posisi
Garis : gabungan dari titik yang memiliki panjang
Bidang : gabungan dari garis yang memiliki panjang dan lebar
Ruang : gabungan dari bidang yang memiliki panjang, lebar, dan tinggi


2. Jarak : garis terpendek antara dua titik
jurus (teorema phitagoras, luas segitiga)
kubus
diagonal sisi : rusuk akar 2
diagonal ruang : rusuk akar 3
pojok ke tengah : rusuk /2 akar 6
pojok dekat ke segitiga : rusuk/3 akar 3

3. Sudut : daerah yang dibatasi 2 garis yang berpotongan
jurus (trigonometri segitiga siku siku, sudut istimewa)

latihan soal klik
https://forms.gle/p2XarhR92CphfY2b7

latihan soal 2 klik
https://forms.gle/P1sknJ1b1NXKgMY3A

========================================

Bab 8. Transformasi Geometri

1. Translasi (Geser)
A (x,y) ----> A'(x+a,y+b)

2. Refleksi (Cermin)
sumbu x
A(x,y) ----> A'(x,-y)

sumbu y
A(x,y) ----> A'(-x,y)

garis x = h
A(x,y) ----> A'(2h-x,y)

garis y = k
A(x,y) ----> A'(x,2k-y)

garis y = x
A(x,y) ----> A'(y,x)

garis y = -x
A(x,y) ----> A'(-y,-x)

titik O(0,0)
A(x,y) ----> A'(-x,-y)

titik P(h,k)
A(x,y) ----> A'(2h-x,2k-y)

3. Rotasi (Puter)
sumbu O(0,0) putaran berlawanan arah jarum jam
A(x,y) ---> ( x cos @ - y sin @ , x sin @ + y cos @ )

sumbu P(a,b) putaran berlawanan arah jarum jam
A(x,y) ---> ( (x-a) cos @ - (y-b) sin @ + a , (x-a) sin @ + (y-b) cos @ + b )

4. Dilatasi (Skala) dengan pusat P(a,b) dan skala k
A(x,y) ----> A'( k(x-a) + a , k(y-b) + b )

latihan soal klik
https://forms.gle/YLwVpoGbn2nnPW5o8

========================================

Bab 9. Peluang 

*KAIDAH PENCACAHAN
1. Teknik Membilang
(Aturan Perkalian)
banyaknya pilihan x banyaknya pilihan

2. Notasi Faktorial (!)
(Perkalian menurun hingga 1)

3. Permutasi (Posisi)

n P k = n! / (n - k)!

Permutasi dgn unsur sama
n P k1,k2,k3... = n! / k1!.k2!.k3!...

Permutasi siklik
n P (siklis) = (n-1)!

4. Kombinasi (Kaga ada posisi)
n C k = n! / (n - k)! k!

Kombinasi dgn unsur sama
n C k . n C k . n C k . ...

5. PELUANG
*Percobaan : Kegiatan yang menghasilkan kemungkinan
*Ruang Sampel : Semua kemungkinan dari kejadian
*Titik Sampel : Anggota dari ruang sampel
*Kejadian : hal yang sudah terjadi

Frekuensi Relatif :
banyaknya kejadian A / banyaknya semua kejadian
Fr (A) = n(A) / n(S)

Peluang Suatu Kejadian :
banyaknya kemungkinan kejadian A / banyaknya semua kemungkinan kejadian
P(A) = n(A)/n(S)

Frekuensi Harapan :
Banyaknya peluang kejadian A x banyaknya percobaan
Fh(A) = P(A) x n

latihan soal klik
https://forms.gle/JMpbDx7o9wCJ7oKc7

========================================

Bab 10. Limit Fungsi Aljabar
1. Bentuk lim x->a  f(x)  substitusikan saja
jika f(a) = c = c
jika f(a) = 0/c = 0 
jika f(a) = c/0 = ~
jika f(a) = 0/0 maka 
faktorkan sederhanakan substitusi (pecahan)
kalikan sekawan (akar)
turunkan substitusikan (pecahan)

2. Bentuk lim x->~ f(x)/g(x) bagi pangkat tertinggi
f(x) n g(x) adalah polinomial
jika pangkat tertinggi atas = pangkat tertinggi bawah 
maka hasilnya = koef pangkat tertinggi atas / koef pangkat tertinggi bawah

jika pangkat tertingi atas < pangkat tertinggi bawah
maka hasilnya = 0

jika pangkat tertinggi atas > pangkat tertinggi bawah 
maka hasilnya = ~ 

untuk bentuknya akar kalikan sekawan dulu baru dengan cara di atas

3. Bentuk lim x->~ [akarf(x) - akarg(x)]  kalikan sekawan n bagi pangkat tertinggi
f(x) n g(x) fungsi kuadrat,  hasilnya
jika a = p maka = (b - q) / 2.akar(a)
jika a > p maka = ~
jika a < p maka = - ~

4. Bentuk lim x->~ [akarf(x) - akarg(x)]  kalikan sekawan n bagi pengkat tertinggi
f(x) n g(x) fungsi linear, hasilnya
jika p = q maka = 0 
jika p tidak = q maka = ~

Latihan Soal klik



========================================

Bab 1. Statistika
Bab 2. Limit Fungsi Aljabar
--------------------------------------
Bab 3. Turunan Fungsi Aljabar


1. Definisi
    Turunan fungsi f(x) terhadap x didefinisikan oleh
$$f^{\prime }\left(x\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}$$    dengan syarat limitnya ada.

2. Notasi

• y' = f '(x)  ⇒  Lagrange   
• $\frac{dy}{dx}=\frac{df\left(x\right)}{dx}$  ⇒  Leibniz   
• D_xy = D_x[f(x)]  ⇒  Euler   

3. Rumus Turunan 

1. f(x) = k  ⇒  f '(x) = 0
2. f(x) = k x  ⇒  f '(x) = k
3. f(x) = xⁿ ⇒ f '(x) = nx^n-1
4. f(x) = k u(x)  ⇒ f '(x) = k u'(x)
5. f(x) = u(x) ± v(x)  ⇒ f '(x) = u'(x) ± v'(x)

dengan k = konstan

4. Contoh penggunaan rumus :
  1.  f(x) = 5  ⇒  f '(x) = 0
  2.  f(x) = 2x  ⇒  f '(x) = 2
  3.  f(x) = x² ⇒  f '(x) = 2x^2-1 = 2x
  4.  y = 2x⁴  ⇒  y' = 2. 4x^4-1 = 8x³
  5.  y = 2x⁴ + x² − 2x  ⇒  y' = 8x³ + 2x − 2

5. Bentuk akar dan pecahan
Untuk menentukan turunan dari fungsi yang memuat bentuk akar atau pecahan, langkah awal yang harus dilakukan adalah merubah terlebih dahulu fungsi tersebut ke dalam bentuk pangkat (eksponen).
Berikut beberapa sifat akar dan pangkat yang sering digunakan :

• $x^m.x^n=x^{m+n}$
• $\frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}$
• $\frac{1}{x^n}=x^{-n}$
• $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$
• $\sqrt[n]{n{x}^m}=x^{\frac{m}{n}}$

Contoh 1
Tentukan turunan dari $f\left(x\right)=x\sqrt{x}$

Jawab :
$\begin{array}{c}f\left(x\right)=x\sqrt{x}=x\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{3}{2}}\end{array}$

$\begin{array}{cc}f\left(x\right)=x^{\frac{3}{2}}\to f^{\prime }\left(x\right)& =\frac{3}{2}{x}^{\frac{3}{2}-1}\\ & =\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}\\ & =\frac{3}{2}\sqrt{x}\end{array}$


Contoh 2
Tentukan turunan dari $f\left(x\right)=\frac{6}{\sqrt[3]{3x}}$

Jawab :
$\begin{array}{c}f\left(x\right)=\frac{6}{\sqrt[3]{3x}}=6x^{-\frac{1}{3}}\end{array}$

$\begin{array}{cc}f\left(x\right)=6x^{-\frac{1}{3}}\to f^{\prime }\left(x\right)& =6\left(-\frac{1}{3}\right)x^{-\frac{1}{3}-1}\\ & =-2x^{-\frac{4}{3}}\\ & =-\frac{2}{x^{\frac{4}{3}}}\\ & =-\frac{2}{x\cdot x^{\frac{1}{3}}}\\ & =-\frac{2}{x\sqrt[3]{3x}}\end{array}$

6. Bentuk Perkalian dan Pembagian 2 fungsi
Misalkan $y=uv$, maka turunan dari y dapat dinyatakan sebagai :
$$y^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$$
Misalkan $y=\frac{u}{v}$, maka turunan dari y dapat dinyatakan sebagai :
$$y^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$$

Contoh 3
Turunan dari f(x) = (2x + 3)(x² + 2) adalah

Jawab :
Misalkan :
u = 2x + 3 ⇒ u' = 2
v = x² + 2 ⇒ v' = 2x

f '(x) = u' v + u v'
f '(x) = 2(x² + 2) + (2x + 3) 2x
f '(x) = 2x² + 4 + 4x² + 6x
f '(x) = 6x² + 6x + 4


Contoh 4

Tentukan turunan dari  $y=\frac{x^2}{3x+1}$ !

Jawab :

Misalkan :

u = x² ⇒ u' = 2x

v = 3x + 1 ⇒ v' = 3

y' = $\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$

y' = $\frac{2x(3x+1)-x^2.3}{(3x+1{)}^2}$

y' = $\frac{6x^2+2x-3x^2}{(3x+1{)}^2}$

y' = $\frac{3x^2+2x}{(3x+1{)}^2}$

7. Aturan Rantai

Jika y = f(u), dengan u adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x, maka turunan y terhadap x dapat dinyatakan dalam bentuk :

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}$$

Dari konsep aturan rantai diatas, maka  untuk y = uⁿ, akan diperoleh :$$\frac{dy}{dx}=\frac{d\left(u^n\right)}{du}\times \frac{du}{dx}$$$$y^{\prime }=n{u}^{n-1}.u^{\prime }$$

Secara umum dapat dinyatakan sebagai berikut :

Jika f(x) = [u(x)]ⁿ dengan u(x) adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x, maka :$$f^{\prime }\left(x\right)=n{\left[u\left(x\right)\right]}^{n-1}.u^{\prime }\left(x\right)$$

Contoh 5
Tentukan turunan dari f(x) = (2x + 1)⁴

     Jawab :
     Misalkan :
     u(x) = 2x + 1  ⇒  u'(x) = 2
     n = 4
     f '(x) = n[u(x)]^n-1 . u'(x)
     f '(x) = 4(2x + 1)^4-1 . 2
     f '(x) = 8(2x + 1)³ 

Contoh 6
Tentukan turunan dari y = (x² − 3x)⁷

     Jawab :
     y' = 7(x² − 3x)^7-1 . (2x − 3)
     y' = (14x − 21) . (x² − 3x)⁶


sumber :
https://smatika.blogspot.com/2016/04/turunan-fungsi-aljabar_11.html?m=1


Bab 4. Integral

1. Jenis integral ada 2 yaitu : 
tertentu dan tak tentu

2. Rumus integral
Untuk f(x) = a dengan a konstan, maka :
$$\int adx=ax+C$$ Contoh
1.  ∫ 2 dx = 2x + C
2.  ∫ $\frac{1}{2}$ dx = $\frac{1}{2}$x + C


Untuk f(x) = axⁿ , n ≠ −1 maka :
$$\int a{x}^{n}dx=\frac{a}{n+1}{x}^{n+1}+C$$ Contoh
1.  ∫ 2x⁴ dx = ...

     Jawab :
     ⇒ $\frac{2}{4+1}$x⁴⁺¹ + C
     ⇒ $\frac{2}{5}$x⁵ + C

2.   ∫ x^-6 dx = ...

     Jawab :
     ⇒ $\frac{1}{-6+1}$x^-6+1 + C
     ⇒ $-\frac{1}{5}$x^-5 + C

Untuk f(x) = (ax + b)ⁿ , n ≠ −1 maka :

$$\int (ax+b{)}^{n}dx=\frac{1}{a(n+1)}{x}^{n+1}+C$$ Contoh

1.  ∫ (2x − 1) ⁴ dx = ...

     Jawab :

     ⇒ $\frac{1}{2(4+1)}$(2x − 1)⁴⁺¹ + C
     ⇒ $\frac{1}{10}$(2x − 1)⁵ + C


2.  ∫ (x + 1)^-7 dx = ...

     Jawab :
     ⇒ $\frac{1}{1(-7+1)}$(x + 1)^-7+1 + C
     ⇒ $-\frac{1}{6}$(x + 1)^-6 + C


Untuk f(x) = $\frac{1}{x}$, maka :
$$\int \frac{1}{x}dx=ln|x|+C$$

Untuk menentukan integral yang integrannya memuat bentuk akar atau pecahan, langkah awal yang harus dilakukan adalah mengubah terlebih dahulu integran tersebut ke bentuk eksponen (pangkat).
Berikut beberapa sifat akar dan pangkat yang sering digunakan :

1. $x^m.x^n=x^{m+n}$
2. $\frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}$
3. $\frac{1}{x^n}=x^{-n}$
4. $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$
5. $x\sqrt{x}=x^{\frac{3}{2}}$
6. $\sqrt[n]{n{x}^m}=x^{\frac{m}{n}}$

Contoh
1.  $\int \sqrt{x}dx=$

     Jawab :
     $\Rightarrow \int x^{\frac{1}{2}}dx$
     $=\frac{1}{\frac{1}{2}+1}{x}^{\frac{1}{2}+1}+C$
     $=\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+C$
     $=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C$

2.  $\int \frac{1}{x^2}dx=$

     Jawab :
     $\Rightarrow \int x^{-2}dx$
     $=\frac{1}{-2+1}{x}^{-2+1}+C$
     $=-x^{-1}+C$
     $=-\frac{1}{x}+C$

3.  $\int x\sqrt[3]{3x^2}dx=$

     Jawab :
     $\Rightarrow \int x.x^{\frac{2}{3}}dx$
     $\Rightarrow \int x^{\frac{5}{3}}dx$
     $=\frac{1}{\frac{5}{3}+1}{x}^{\frac{5}{3}+1}+C$
     $=\frac{3}{8}{x}^{\frac{8}{3}}+C$
     $=\frac{3}{8}\sqrt[3]{3x^8}+C$ atau
$=\frac{3}{8}{x}^2\sqrt[3]{3x^2}+C$

3. Sifat-sifat integral
1.  ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx   (k = konstan)

     Contoh
     ∫ 3x⁴ dx = 3 ∫ x⁴ dx
     ∫ 3x⁴ dx = 3 . $\frac{1}{5}{x}^5+C$
     ∫ 3x⁴ dx =  $\frac{3}{5}{x}^5+C$

2.  ∫{f(x) ± g(x)} dx =  ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx

     Contoh

     ∫ (4x² + 3x − 2) dx = ...

     ⇒  ∫ 4x² dx + ∫ 3x dx − ∫ 2 dx

     = $\frac{4}{3}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2-2x+C$